微积分学示例

$\int_{2}^{3} {(2 + 2 x)}^{2} d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 + 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 + 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 + 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 + 2 x]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $2 + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 + 2$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 2 + 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 + 2 \cdot 2$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{lower} = 2 + 4$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$u_{lower} = 6$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 2 + 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 + 2 \cdot 3$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$u_{upper} = 2 + 6$

解题步骤 1.5.2

将 $2$ 和 $6$ 相加。

$u_{upper} = 8$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{6}^{8} u^{2} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{6}^{8} \frac{u^{2}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{6}^{8} u^{2} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{6}^{8}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{3} u^{3}$ 在 $8$ 处和在 $6$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 8^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 6^{3})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 512 - \frac{1}{3} \cdot 6^{3})$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $512$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 6^{3})$

解题步骤 5.2.3

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 216)$

解题步骤 5.2.4

将 $216$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - 216 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 5.2.5

组合 $- 216$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{- 216}{3})$

解题步骤 5.2.6

约去 $- 216$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.1

从 $- 216$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 72}{3})$

解题步骤 5.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)})$

解题步骤 5.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1})$

解题步骤 5.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{- 72}{1})$

解题步骤 5.2.6.2.4

用 $- 72$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - 72)$

解题步骤 5.2.7

要将 $- 72$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - 72 \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 5.2.8

组合 $- 72$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{- 72 \cdot 3}{3})$

解题步骤 5.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{512 - 72 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.10

化简分子。

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解题步骤 5.2.10.1

将 $- 72$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{512 - 216}{3}$

解题步骤 5.2.10.2

从 $512$ 中减去 $216$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{296}{3}$

解题步骤 5.2.11

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{296}{3}$ 。

$\frac{296}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.2.12

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{296}{6}$

解题步骤 5.2.13

约去 $296$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.13.1

从 $296$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (148)}{6}$

解题步骤 5.2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.13.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 148}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.2.13.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 148}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.2.13.2.3

重写表达式。

$\frac{148}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{148}{3}$

小数形式：

$49.\overline{3}$

带分数形式：

$49 \frac{1}{3}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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