微积分学示例

$\int_{2}^{3} \frac{2 + u^{2}}{u^{3}} d u$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

通过将 $u^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) {(u^{3})}^{- 1} d u$

解题步骤 1.2

将 ${(u^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{3 \cdot - 1} d u$

解题步骤 1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{- 3} d u$

解题步骤 2

乘以 $(2 + u^{2}) u^{- 3}$ 。

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2} u^{- 3} d u$

解题步骤 3

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2 - 3} d u$

解题步骤 3.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{- 1} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{2}^{3} u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- 3}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 。

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $u^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

解题步骤 7.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- 2}$ 移动到分母。

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

解题步骤 8

$u^{- 1}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

代入并化简。

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解题步骤 9.1.1

计算 $- \frac{1}{2 u^{2}}$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

解题步骤 9.1.2

计算 $\ln (| u |)$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3

化简。

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解题步骤 9.1.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 4}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.5

要将 $- \frac{1}{18}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.6

要将 $\frac{1}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $72$ 的形式。

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解题步骤 9.1.3.7.1

将 $\frac{1}{18}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 (- \frac{4}{18 \cdot 4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.7.2

将 $18$ 乘以 $4$ 。

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.7.3

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{8 \cdot 9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.7.4

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.8

在公分母上合并分子。

$2 \frac{- 4 + 9}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.9

将 $- 4$ 和 $9$ 相加。

$2 (\frac{5}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.10

组合 $2$ 和 $\frac{5}{72}$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.11

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{10}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.12

约去 $10$ 和 $72$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.12.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5)}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.3.12.2.1

从 $72$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.12.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.1.3.12.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

$\frac{5}{36} + \ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 9.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{| 2 |})$

解题步骤 9.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

小数形式：

$0.54435399 \dots$

解题步骤 11

微积分学 示例

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