微积分学示例

$\int_{- 2}^{1} (5 - x^{2}) - (x + 3) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 2}^{1} 5 d x + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$5 x]_{- 2}^{1} + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$5 x]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

解题步骤 6

乘以 $- (x + 3)$ 。

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x - 1 \cdot 3 d x$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x - 3 d x$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + - 3 x]_{- 2}^{1}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

化简。

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解题步骤 13.1.1

组合 $5 x]_{- 2}^{1}$ 和 $- 3 x]_{- 2}^{1}$ 。

$5 x - 3 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

解题步骤 13.1.2

从 $5 x$ 中减去 $3 x$ 。

$2 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

解题步骤 13.2

代入并化简。

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解题步骤 13.2.1

计算 $2 x$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

解题步骤 13.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

解题步骤 13.2.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4

化简。

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解题步骤 13.2.4.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 + 4 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$6 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.4

一的任意次幂都为一。

$6 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.5

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$6 - (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.6

将负号移到分数的前面。

$6 - (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$6 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.8

将 $\frac{8}{3}$ 乘以 $1$ 。

$6 - (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.9

在公分母上合并分子。

$6 - \frac{1 + 8}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.10

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$6 - \frac{9}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.11

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.4.11.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.11.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.4.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.11.2.2

约去公因数。

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.11.2.3

重写表达式。

$6 - \frac{3}{1} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.11.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$6 - 1 \cdot 3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.12

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$6 - 3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.13

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.14

一的任意次幂都为一。

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

解题步骤 13.2.4.15

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2})$

解题步骤 13.2.4.16

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.4.16.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2})$

解题步骤 13.2.4.16.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.4.16.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

解题步骤 13.2.4.16.2.2

约去公因数。

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

解题步骤 13.2.4.16.2.3

重写表达式。

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1})$

解题步骤 13.2.4.16.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$3 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2)$

解题步骤 13.2.4.17

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 - (\frac{1}{2} - 2)$

解题步骤 13.2.4.18

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 13.2.4.19

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})$

解题步骤 13.2.4.20

在公分母上合并分子。

$3 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 13.2.4.21

化简分子。

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解题步骤 13.2.4.21.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$3 - \frac{1 - 4}{2}$

解题步骤 13.2.4.21.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$3 - \frac{- 3}{2}$

解题步骤 13.2.4.22

将负号移到分数的前面。

$3 - - \frac{3}{2}$

解题步骤 13.2.4.23

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 + 1 (\frac{3}{2})$

解题步骤 13.2.4.24

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{3}{2}$

解题步骤 13.2.4.25

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 13.2.4.26

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 13.2.4.27

在公分母上合并分子。

$\frac{3 \cdot 2 + 3}{2}$

解题步骤 13.2.4.28

化简分子。

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解题步骤 13.2.4.28.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 + 3}{2}$

解题步骤 13.2.4.28.2

将 $6$ 和 $3$ 相加。

$\frac{9}{2}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{9}{2}$

小数形式：

$4.5$

带分数形式：

$4 \frac{1}{2}$

解题步骤 15

微积分学 示例

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