微积分学示例

$\int 12 x^{- 3} + e^{6 x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 12 x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

解题步骤 2

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$12 \int x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$12 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int e^{6 x} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$12 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int e^{6 x} d x$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{6 x} d x$

解题步骤 5

使 $u = 6 x$ 。然后使 $d u = 6 d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 6 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $6 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{u} \frac{1}{6} d u$

解题步骤 6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{e^{u}}{6} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{- 6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

解题步骤 9.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

解题步骤 10

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

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