微积分学示例

$\int 15 {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

解题步骤 1

由于 $15$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $15$ 移到积分外。

$15 \int {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

解题步骤 2

使 $u_{1} = y^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 y d y$ ，以便 $\frac{1}{2 y} d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

设 $u_{1} = y^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

对 $y^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y$

解题步骤 2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$15 \int {({\sqrt{u_{1}}}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ 重写为 ${u_{1}}^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$15 \int {({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{6}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.1.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2.2

约去公因数。

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2.3

重写表达式。

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{3}{1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.2

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ 。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.3

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 重写为 ${u_{1}}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{4}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.3.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.3.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.3.4.2.2

约去公因数。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.3.4.2.3

重写表达式。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2}{1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 3.3.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ 。然后使 $d u_{2} = (3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

对 ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.2

因为 $4$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}]$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.6

在公分母上合并分子。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.7.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.8

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.9

组合 $4$ 和 $\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{4 (3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.10

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.11

从 $12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.12

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.12.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.12.2

约去公因数。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.12.3

重写表达式。

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.3.12.4

用 $6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.4.1

因为 $3$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $3$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.1.5

将 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 重写为根式。

$3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}$

解题步骤 4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$15 \int {u_{2}}^{3} \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 5

组合 ${u_{2}}^{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$15 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{3} d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$15 (\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2})$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $15$ 。

$\frac{15}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

解题步骤 7.2

约去 $15$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 5}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

解题步骤 7.2.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5 \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

解题步骤 8

根据幂法则， ${u_{2}}^{3}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ 。

$5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

解题步骤 9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将 $5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ 重写为 $5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$ 。

$5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$

解题步骤 9.2

组合 $5$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{5}{4} {u_{2}}^{4} + C$

解题步骤 10

代回替换每一个积分法替换变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

使用 ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{5}{4} {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{4} + C$

解题步骤 10.2

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{5}{4} {({(y^{2})}^{3} + 4 \sqrt{{(y^{2})}^{3}} + 3)}^{4} + C$

微积分学 示例

微积分学示例