微积分学示例

$\int 12 x \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int 12 x \cdot x^{\frac{1}{3}} d x$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

移动 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int 12 (x^{\frac{1}{3}} x) d x$

解题步骤 1.2.2

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 12 (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) d x$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 12 x^{\frac{1}{3} + 1} d x$

解题步骤 1.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int 12 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} d x$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\int 12 x^{\frac{1 + 3}{3}} d x$

解题步骤 1.2.5

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int 12 x^{\frac{4}{3}} d x$

解题步骤 2

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$12 \int x^{\frac{4}{3}} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ 。

$12 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $12 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$ 重写为 $12 (\frac{3}{7}) x^{\frac{7}{3}} + C$ 。

$12 (\frac{3}{7}) x^{\frac{7}{3}} + C$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

组合 $12$ 和 $\frac{3}{7}$ 。

$\frac{12 \cdot 3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

解题步骤 4.2.2

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$\frac{36}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

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