微积分学示例

$\int 16 \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

解题步骤 1

由于 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$16 \int \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1

把 $6$ 重写为 $4$ 加 $2$

$16 \int \tan^{4} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

解题步骤 2.2

将 ${\sec (x)}^{4 + 2}$ 重写为 $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ 。

$16 \int \tan^{4} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 2.3

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$16 \int \tan^{4} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 2.4

将 ${\sec (x)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 3

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (x)$ 重写成 $1 + \tan^{2} (x)$ 的形式。

$16 \int \tan^{4} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 4

使 $u = \tan (x)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = \tan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\tan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 4.1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

解题步骤 5

展开 $u^{4} {(1 + u^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

将 ${(1 + u^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ 。

$16 \int u^{4} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$16 \int u^{4} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 5.5

运用分配律。

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 5.6

运用分配律。

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 5.7

运用分配律。

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 5.8

移动 $u^{4}$ 。

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 5.9

将 $u^{4}$ 和 $1$ 重新排序。

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 5.10

将 $u^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (1 \cdot u^{2}) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 5.11

将 $u^{4}$ 和 $1$ 重新排序。

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + 1 \cdot u^{4} \cdot u^{2} + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 5.12

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$16 \int 1 u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.13

将 $u^{4}$ 乘以 $1$ 。

$16 \int u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.14

将 $u^{4}$ 乘以 $1$ 。

$16 \int u^{4} + u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 \int u^{4} + u^{4 + 2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.16

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$16 \int u^{4} + u^{6} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.17

将 $u^{4}$ 乘以 $1$ 。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4 + 2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.19

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4 + 2} u^{2} d u$

解题步骤 5.21

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6} u^{2} d u$

解题步骤 5.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6 + 2} d u$

解题步骤 5.23

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{8} d u$

解题步骤 5.24

将 $u^{6}$ 和 $u^{6}$ 相加。

$16 \int u^{4} + 2 u^{6} + u^{8} d u$

解题步骤 5.25

将 $2 u^{6}$ 和 $u^{8}$ 重新排序。

$16 \int u^{4} + u^{8} + 2 u^{6} d u$

解题步骤 5.26

移动 $u^{4}$ 。

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$16 (\int u^{8} d u + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{8}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{9} u^{9}$ 。

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

解题步骤 8

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 \int u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{6}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{7} u^{7}$ 。

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int u^{4} d u)$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

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解题步骤 11.1.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $u^{7}$ 。

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

解题步骤 11.1.2

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $u^{9}$ 。

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

解题步骤 11.1.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $u^{5}$ 。

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

解题步骤 11.2

化简。

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

解题步骤 12

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$16 (\frac{\tan^{9} (x)}{9} + \frac{2 \tan^{7} (x)}{7} + \frac{\tan^{5} (x)}{5}) + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$16 (\frac{1}{9} \tan^{9} (x) + \frac{2}{7} \tan^{7} (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x)) + C$

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