微积分学示例

$\int 16 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

解题步骤 1

由于 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$16 \int x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ 。然后使 $d u_{2} = 12 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ ，以便 $\frac{1}{12} d u_{2} = x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $e^{4 x^{3}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x^{3}}]$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x^{3}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x^{3}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $4 x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{4 x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$e^{4 x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$e^{4 x^{3}} (4 (3 x^{2}))$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

重新排序 $e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$ 的因式。

$12 e^{4 x^{3}} x^{2}$

解题步骤 2.1.4.2

将 $12 e^{4 x^{3}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$12 x^{2} e^{4 x^{3}}$

解题步骤 2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$16 \int \frac{1}{12} d u_{2}$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$ 重写为 $16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$ 。

$16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

组合 $16$ 和 $\frac{1}{12}$ 。

$\frac{16}{12} u_{2} + C$

解题步骤 4.2.2

约去 $16$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (4)}{12} u_{2} + C$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

解题步骤 4.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

解题步骤 4.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

解题步骤 4.3

使用 $e^{4 x^{3}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{4}{3} e^{4 x^{3}} + C$

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