微积分学示例

$\int_{1}^{e} \ln (x^{m}) d x$

解题步骤 1

将 $\ln (x^{m})$ 重写为 $m \ln (x)$ 。

$\int_{1}^{e} m \ln (x) d x$

解题步骤 2

由于 $m$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $m$ 移到积分外。

$m \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

解题步骤 3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

解题步骤 4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

解题步骤 4.2.2

重写表达式。

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\ln (x) x$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$m ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

解题步骤 6.2

计算 $x$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$m ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$m (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$m (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

解题步骤 7.1.2

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$m (e - \ln (1) - (e - 1))$

解题步骤 7.1.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$m (e - 0 - (e - 1))$

解题步骤 7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$m (e + 0 - (e - 1))$

解题步骤 7.1.5

运用分配律。

$m (e + 0 - e - - 1)$

解题步骤 7.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$m (e + 0 - e + 1)$

解题步骤 7.2

将 $e$ 和 $0$ 相加。

$m (e - e + 1)$

解题步骤 7.3

从 $e$ 中减去 $e$ 。

$m (0 + 1)$

解题步骤 7.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$m \cdot 1$

解题步骤 7.5

将 $m$ 乘以 $1$ 。

$m$

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