微积分学示例

$\int_{1}^{e} \frac{1 - \ln (x)}{x} d x$

解题步骤 1

将分数分解成多个分数。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} + \frac{- \ln (x)}{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- \ln (x)}{x} d x$

解题步骤 3

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 6

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 6.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \ln (1)$

解题步骤 6.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \ln (e)$

解题步骤 6.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 6.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{0}^{1} u d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1})$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\ln (| x |)$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

解题步骤 9.2

计算 $\frac{u^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

一的任意次幂都为一。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

解题步骤 9.3.3

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 9.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 9.3.3.2.2

约去公因数。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 9.3.3.2.3

重写表达式。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

解题步骤 9.3.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - 0)$

解题步骤 9.3.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} + 0)$

解题步骤 9.3.5

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

解题步骤 10

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

$e$ 约为 $2.71828182$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{e}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 11.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{e}{1}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 11.3

用 $e$ 除以 $1$ 。

$\ln (e) - \frac{1}{2}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 12.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 12.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 - 1}{2}$

解题步骤 12.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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