微积分学示例

$\int_{1}^{e} 6 x^{2} \ln (x) d x$

解题步骤 1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x^{2}$ 。

$6 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$6 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 3.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 3.4

将 $\frac{x^{3}}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

解题步骤 3.5

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

解题步骤 3.5.2.3

重写表达式。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{3} d x)$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x))$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e})$

解题步骤 6.1.2

组合 $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

解题步骤 6.2

代入并化简。

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解题步骤 6.2.1

计算 $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

解题步骤 6.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

解题步骤 6.2.3

化简。

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解题步骤 6.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

解题步骤 6.2.3.2

将 $\ln (1)$ 乘以 $1$ 。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

解题步骤 6.2.3.3

一的任意次幂都为一。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

解题步骤 6.2.3.4

将 $\frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}))$

解题步骤 6.2.3.5

合并。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

解题步骤 6.2.3.6

运用分配律。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

解题步骤 6.2.3.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.7.1

约去公因数。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

解题步骤 6.2.3.7.2

重写表达式。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

解题步骤 6.2.3.8

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 3 (\frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

解题步骤 6.2.3.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 3}{3}}{3 \cdot 3})$

解题步骤 6.2.3.10

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.10.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3}}{3 \cdot 3})$

解题步骤 6.2.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}{3 \cdot 3})$

解题步骤 6.2.3.10.2.2

约去公因数。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 3})$

解题步骤 6.2.3.10.2.3

重写表达式。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 1}{1}}{3 \cdot 3})$

解题步骤 6.2.3.10.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{3 \cdot 3})$

解题步骤 6.2.3.11

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9})$

解题步骤 6.2.3.12

要将 $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

解题步骤 6.2.3.13

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 6.2.3.13.1

将 $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

解题步骤 6.2.3.13.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{9} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

解题步骤 6.2.3.14

在公分母上合并分子。

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3 - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

解题步骤 6.2.3.15

将 $3$ 移到 $\ln (e) e^{3}$ 的左侧。

$6 (\frac{3 \ln (e) e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1.1

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$6 (\frac{3 \cdot 1 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

解题步骤 7.1.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$6 (\frac{3 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

解题步骤 7.1.1.3

运用分配律。

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} - - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

解题步骤 7.1.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

解题步骤 7.1.1.5

从 $3 e^{3}$ 中减去 $e^{3}$ 。

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

解题步骤 7.1.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{0}{3})$

解题步骤 7.1.3

用 $0$ 除以 $3$ 。

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - 0)$

解题步骤 7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} + 0)$

解题步骤 7.2

将 $\frac{2 e^{3} + 1}{9}$ 和 $0$ 相加。

$6 \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

解题步骤 7.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2) \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

解题步骤 7.3.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 7.3.3

约去公因数。

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 7.3.4

重写表达式。

$2 \frac{2 e^{3} + 1}{3}$

解题步骤 7.4

组合 $2$ 和 $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ 。

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

小数形式：

$27.44738256 \dots$

微积分学 示例

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