微积分学示例

$\int_{1}^{8 \sqrt{3}} \frac{11}{\sqrt{256 - x^{2}}} d x$

解题步骤 1

由于 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $11$ 移到积分外。

$11 \int_{1}^{8 \sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{256 - x^{2}}} d x$

解题步骤 2

将 $256$ 重写为 $16^{2}$ 。

$11 \int_{1}^{8 \sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{16^{2} - x^{2}}} d x$

解题步骤 3

$\frac{1}{\sqrt{16^{2} - x^{2}}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arcsin (\frac{x}{16})$

$11 (\arcsin (\frac{x}{16})]_{1}^{8 \sqrt{3}})$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $\arcsin (\frac{x}{16})$ 在 $8 \sqrt{3}$ 处和在 $1$ 处的值。

$11 ((\arcsin (\frac{8 \sqrt{3}}{16})) - \arcsin (\frac{1}{16}))$

解题步骤 4.2

约去 $8$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $8 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $8$ 。

$11 (\arcsin (\frac{8 (\sqrt{3})}{16}) - \arcsin (\frac{1}{16}))$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$11 (\arcsin (\frac{8 \sqrt{3}}{8 \cdot 2}) - \arcsin (\frac{1}{16}))$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

$11 (\arcsin (\frac{8 \sqrt{3}}{8 \cdot 2}) - \arcsin (\frac{1}{16}))$

解题步骤 4.2.2.3

重写表达式。

$11 (\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin (\frac{1}{16}))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$11 (\frac{π}{3} - \arcsin (\frac{1}{16}))$

解题步骤 5.1.2

计算 $\arcsin (\frac{1}{16})$ 。

$11 (\frac{π}{3} - 1 \cdot 0.06254076)$

解题步骤 5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0.06254076$ 。

$11 (\frac{π}{3} - 0.06254076)$

解题步骤 5.2

从 $\frac{π}{3}$ 中减去 $0.06254076$ 。

$11 \cdot 0.98465678$

解题步骤 5.3

将 $11$ 乘以 $0.98465678$ 。

$10.83122468$

解题步骤 6

微积分学 示例

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