微积分学示例

$\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{9} (x - 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4

展开 $(x - 1) x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int_{1}^{9} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{9} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{9} x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{1}^{9} x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\int_{1}^{9} x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

将 $- 1 x^{- \frac{1}{2}}$ 重写为 $- x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{9} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

解题步骤 10.2

计算 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $27$ 。

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.6

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.7

约去 $54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.7.1

从 $54$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.7.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.7.2.3

重写表达式。

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.7.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.8

一的任意次幂都为一。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$18 - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.10

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.11

组合 $18$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.12

在公分母上合并分子。

$\frac{18 \cdot 3 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.13

化简分子。

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解题步骤 10.3.13.1

将 $18$ 乘以 $3$ 。

$\frac{54 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.13.2

从 $54$ 中减去 $2$ 。

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.14

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{52}{3} - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.15

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.16

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.16.1

约去公因数。

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.16.2

重写表达式。

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.17

计算指数。

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.18

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.3.19

一的任意次幂都为一。

$\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.20

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{52}{3} - (6 - 2)$

解题步骤 10.3.21

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$\frac{52}{3} - 1 \cdot 4$

解题步骤 10.3.22

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{52}{3} - 4$

解题步骤 10.3.23

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{52}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 10.3.24

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{52}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

解题步骤 10.3.25

在公分母上合并分子。

$\frac{52 - 4 \cdot 3}{3}$

解题步骤 10.3.26

化简分子。

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解题步骤 10.3.26.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{52 - 12}{3}$

解题步骤 10.3.26.2

从 $52$ 中减去 $12$ 。

$\frac{40}{3}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{40}{3}$

小数形式：

$13.\overline{3}$

带分数形式：

$13 \frac{1}{3}$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例