微积分学示例

$\int_{1}^{9} 4 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{1}^{9} \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 \int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{9})$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$4 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.1

约去公因数。

$4 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.3.2

重写表达式。

$4 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.5

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$4 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.6

约去 $54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.6.1

从 $54$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.6.2.2

约去公因数。

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.6.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.6.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$4 (18 - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.7

一的任意次幂都为一。

$4 (18 - \frac{2 \cdot 1}{3})$

解题步骤 4.2.2.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 (18 - \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.2.9

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.2.10

组合 $18$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$4 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.2.11

在公分母上合并分子。

$4 \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

解题步骤 4.2.2.12

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.12.1

将 $18$ 乘以 $3$ 。

$4 \frac{54 - 2}{3}$

解题步骤 4.2.2.12.2

从 $54$ 中减去 $2$ 。

$4 (\frac{52}{3})$

解题步骤 4.2.2.13

组合 $4$ 和 $\frac{52}{3}$ 。

$\frac{4 \cdot 52}{3}$

解题步骤 4.2.2.14

将 $4$ 乘以 $52$ 。

$\frac{208}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{208}{3}$

小数形式：

$69.\overline{3}$

带分数形式：

$69 \frac{1}{3}$

解题步骤 6

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