微积分学示例

$\int_{10}^{20} - 0.009 t^{2} + 0.5 t d t$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{10}^{20} - 0.009 t^{2} d t + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

解题步骤 2

由于 $- 0.009$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 0.009$ 移到积分外。

$- 0.009 \int_{10}^{20} t^{2} d t + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

解题步骤 3

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$- 0.009 (\frac{1}{3} t^{3}]_{10}^{20}) + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t^{3}$ 。

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

解题步骤 5

由于 $0.5$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $0.5$ 移到积分外。

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + 0.5 \int_{10}^{20} t d t$

解题步骤 6

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + 0.5 (\frac{1}{2} t^{2}]_{10}^{20})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + 0.5 (\frac{t^{2}}{2}]_{10}^{20})$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{t^{3}}{3}$ 在 $20$ 处和在 $10$ 处的值。

$- 0.009 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{10^{3}}{3}) + 0.5 (\frac{t^{2}}{2}]_{10}^{20})$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{t^{2}}{2}$ 在 $20$ 处和在 $10$ 处的值。

$- 0.009 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{10^{3}}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $20$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 0.009 (\frac{8000}{3} - \frac{10^{3}}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.2

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 0.009 (\frac{8000}{3} - \frac{1000}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3

在公分母上合并分子。

$- 0.009 \frac{8000 - 1000}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.4

从 $8000$ 中减去 $1000$ 。

$- 0.009 (\frac{7000}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.5

组合 $- 0.009$ 和 $\frac{7000}{3}$ 。

$\frac{- 0.009 \cdot 7000}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.6

将 $- 0.009$ 乘以 $7000$ 。

$\frac{- 63}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7

约去 $- 63$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.7.1

从 $- 63$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 21}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 21}{3 (1)} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 21}{3 \cdot 1} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 21}{1} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7.2.4

用 $- 21$ 除以 $1$ 。

$- 21 + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.8

对 $20$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 21 + 0.5 (\frac{400}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.9

约去 $400$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.9.1

从 $400$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 21 + 0.5 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 21 + 0.5 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.9.2.2

约去公因数。

$- 21 + 0.5 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.9.2.3

重写表达式。

$- 21 + 0.5 (\frac{200}{1} - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.9.2.4

用 $200$ 除以 $1$ 。

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{10^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.10

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{100}{2})$

解题步骤 7.2.3.11

约去 $100$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.11.1

从 $100$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{2 \cdot 50}{2})$

解题步骤 7.2.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{2 \cdot 50}{2 (1)})$

解题步骤 7.2.3.11.2.2

约去公因数。

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1})$

解题步骤 7.2.3.11.2.3

重写表达式。

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{50}{1})$

解题步骤 7.2.3.11.2.4

用 $50$ 除以 $1$ 。

$- 21 + 0.5 (200 - 1 \cdot 50)$

解题步骤 7.2.3.12

将 $- 1$ 乘以 $50$ 。

$- 21 + 0.5 (200 - 50)$

解题步骤 7.2.3.13

从 $200$ 中减去 $50$ 。

$- 21 + 0.5 \cdot 150$

解题步骤 7.2.3.14

将 $0.5$ 乘以 $150$ 。

$- 21 + 75$

解题步骤 7.2.3.15

将 $- 21$ 和 $75$ 相加。

$54$

解题步骤 8

微积分学 示例

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