微积分学示例

$\int_{1}^{6} t^{2} - 5 t + 6 d t$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{6} t^{2} d t + \int_{1}^{6} - 5 t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

解题步骤 2

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} + \int_{1}^{6} - 5 t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

解题步骤 3

由于 $- 5$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 \int_{1}^{6} t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} 6 d t$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} 6 d t$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6}) + 6 t]_{1}^{6}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6}$ 和 $6 t]_{1}^{6}$ 。

$\frac{1}{3} t^{3} + 6 t]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6})$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{1}{3} t^{3} + 6 t$ 在 $6$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 6 \cdot 6) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6})$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{t^{2}}{2}$ 在 $6$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 6 \cdot 6) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 216 + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $216$ 。

$\frac{216}{3} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3

约去 $216$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.3.1

从 $216$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 72}{3} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{72}{1} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3.2.4

用 $72$ 除以 $1$ 。

$72 + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.4

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$72 + 36 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.5

将 $72$ 和 $36$ 相加。

$108 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.6

一的任意次幂都为一。

$108 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$108 - (\frac{1}{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.8

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$108 - (\frac{1}{3} + 6) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.9

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$108 - (\frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.10

组合 $6$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$108 - (\frac{1}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.11

在公分母上合并分子。

$108 - \frac{1 + 6 \cdot 3}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.12

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.12.1

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$108 - \frac{1 + 18}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.12.2

将 $1$ 和 $18$ 相加。

$108 - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.13

要将 $108$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$108 \cdot \frac{3}{3} - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.14

组合 $108$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{108 \cdot 3}{3} - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.15

在公分母上合并分子。

$\frac{108 \cdot 3 - 19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.16

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.16.1

将 $108$ 乘以 $3$ 。

$\frac{324 - 19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.16.2

从 $324$ 中减去 $19$ 。

$\frac{305}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.17

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{36}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.18

约去 $36$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.18.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.18.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.18.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.18.2.2

约去公因数。

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.18.2.3

重写表达式。

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{18}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.18.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$\frac{305}{3} - 5 (18 - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.19

一的任意次幂都为一。

$\frac{305}{3} - 5 (18 - \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2.3.20

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{305}{3} - 5 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2.3.21

组合 $18$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2.3.22

在公分母上合并分子。

$\frac{305}{3} - 5 \frac{18 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 7.2.3.23

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.23.1

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$\frac{305}{3} - 5 \frac{36 - 1}{2}$

解题步骤 7.2.3.23.2

从 $36$ 中减去 $1$ 。

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{35}{2})$

解题步骤 7.2.3.24

组合 $- 5$ 和 $\frac{35}{2}$ 。

$\frac{305}{3} + \frac{- 5 \cdot 35}{2}$

解题步骤 7.2.3.25

将 $- 5$ 乘以 $35$ 。

$\frac{305}{3} + \frac{- 175}{2}$

解题步骤 7.2.3.26

将负号移到分数的前面。

$\frac{305}{3} - \frac{175}{2}$

解题步骤 7.2.3.27

要将 $\frac{305}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{305}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{175}{2}$

解题步骤 7.2.3.28

要将 $- \frac{175}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{305}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.3.29

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.29.1

将 $\frac{305}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{305 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.3.29.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.3.29.3

将 $\frac{175}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.29.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175 \cdot 3}{6}$

解题步骤 7.2.3.30

在公分母上合并分子。

$\frac{305 \cdot 2 - 175 \cdot 3}{6}$

解题步骤 7.2.3.31

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.31.1

将 $305$ 乘以 $2$ 。

$\frac{610 - 175 \cdot 3}{6}$

解题步骤 7.2.3.31.2

将 $- 175$ 乘以 $3$ 。

$\frac{610 - 525}{6}$

解题步骤 7.2.3.31.3

从 $610$ 中减去 $525$ 。

$\frac{85}{6}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{85}{6}$

小数形式：

$14.1\overline{6}$

带分数形式：

$14 \frac{1}{6}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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