微积分学示例

$\int_{1}^{6} 3 x^{2} - 4 x - 5 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{6} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{6} - 4 x d x + \int_{1}^{6} - 5 d x$

解题步骤 2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{1}^{6} x^{2} d x + \int_{1}^{6} - 4 x d x + \int_{1}^{6} - 5 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - 4 x d x + \int_{1}^{6} - 5 d x$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - 4 x d x + \int_{1}^{6} - 5 d x$

解题步骤 5

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{6}) - 4 \int_{1}^{6} x d x + \int_{1}^{6} - 5 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{6}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - 5 d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{6}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - 5 d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{6}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{6}) + - 5 x]_{1}^{6}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $6$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{6}) + - 5 x]_{1}^{6}$

解题步骤 9.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $6$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 (\frac{6^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + - 5 x]_{1}^{6}$

解题步骤 9.3

计算 $- 5 x$ 在 $6$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 (\frac{6^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 (\frac{216}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.2

约去 $216$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.2.1

从 $216$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.2.2.2

约去公因数。

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.2.2.3

重写表达式。

$3 (\frac{72}{1} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.2.2.4

用 $72$ 除以 $1$ 。

$3 (72 - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.3

一的任意次幂都为一。

$3 (72 - \frac{1}{3}) - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.4

要将 $72$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (72 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.5

组合 $72$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{72 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.6

在公分母上合并分子。

$3 \frac{72 \cdot 3 - 1}{3} - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.7

化简分子。

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解题步骤 9.4.7.1

将 $72$ 乘以 $3$ 。

$3 \frac{216 - 1}{3} - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.7.2

从 $216$ 中减去 $1$ 。

$3 (\frac{215}{3}) - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.8

组合 $3$ 和 $\frac{215}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 215}{3} - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.9

将 $3$ 乘以 $215$ 。

$\frac{645}{3} - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.10

约去 $645$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.10.1

从 $645$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 215}{3} - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 215}{3 (1)} - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.10.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 215}{3 \cdot 1} - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.10.2.3

重写表达式。

$\frac{215}{1} - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.10.2.4

用 $215$ 除以 $1$ 。

$215 - 4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.11

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$215 - 4 (\frac{36}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.12

约去 $36$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.12.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$215 - 4 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.12.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.12.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$215 - 4 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.12.2.2

约去公因数。

$215 - 4 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.12.2.3

重写表达式。

$215 - 4 (\frac{18}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.12.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$215 - 4 (18 - \frac{1^{2}}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.13

一的任意次幂都为一。

$215 - 4 (18 - \frac{1}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.14

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$215 - 4 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.15

组合 $18$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$215 - 4 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.16

在公分母上合并分子。

$215 - 4 \frac{18 \cdot 2 - 1}{2} + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.17

化简分子。

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解题步骤 9.4.17.1

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$215 - 4 \frac{36 - 1}{2} + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.17.2

从 $36$ 中减去 $1$ 。

$215 - 4 (\frac{35}{2}) + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.18

组合 $- 4$ 和 $\frac{35}{2}$ 。

$215 + \frac{- 4 \cdot 35}{2} + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.19

将 $- 4$ 乘以 $35$ 。

$215 + \frac{- 140}{2} + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.20

约去 $- 140$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.20.1

从 $- 140$ 中分解出因数 $2$ 。

$215 + \frac{2 \cdot - 70}{2} + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.20.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.20.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$215 + \frac{2 \cdot - 70}{2 (1)} + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.20.2.2

约去公因数。

$215 + \frac{2 \cdot - 70}{2 \cdot 1} + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.20.2.3

重写表达式。

$215 + \frac{- 70}{1} + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.20.2.4

用 $- 70$ 除以 $1$ 。

$215 - 70 + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.21

从 $215$ 中减去 $70$ 。

$145 + (- 5 \cdot 6) + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.22

将 $- 5$ 乘以 $6$ 。

$145 - 30 + 5 \cdot 1$

解题步骤 9.4.23

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$145 - 30 + 5$

解题步骤 9.4.24

将 $- 30$ 和 $5$ 相加。

$145 - 25$

解题步骤 9.4.25

从 $145$ 中减去 $25$ 。

$120$

解题步骤 10

微积分学 示例

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