微积分学示例

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} - e^{- x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

解题步骤 2

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$9 \int_{1}^{6} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

解题步骤 3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{1}^{6} e^{- x} d x$

解题步骤 5

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 1 \cdot 6$

解题步骤 5.5

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$u_{upper} = - 6$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 6$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{- 1}^{- 6} - e^{u} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - - \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + 1 \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

解题步骤 7.2

将 $\int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\ln (| x |)$ 在 $6$ 处和在 $1$ 处的值。

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

解题步骤 9.2

计算 $e^{u}$ 在 $- 6$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + (e^{- 6}) - e^{- 1}$

解题步骤 9.3

去掉多余的括号。

$9 (\ln (| 6 |) - \ln (| 1 |)) + e^{- 6} - e^{- 1}$

解题步骤 10

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$9 \ln (\frac{| 6 |}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $6$ 之间的距离为 $6$ 。

$9 \ln (\frac{6}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

解题步骤 11.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$9 \ln (\frac{6}{1}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

解题步骤 11.3

用 $6$ 除以 $1$ 。

$9 \ln (6) + e^{- 6} - e^{- 1}$

解题步骤 11.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

小数形式：

$15.76043453 \dots$

解题步骤 13

微积分学 示例

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