微积分学示例

$\int_{1}^{64} \frac{3 + \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int_{1}^{64} \frac{3 + x^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{64} \frac{3 + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.3

要将 $\frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.4

要将 $- \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

解题步骤 5.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 5.5.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

解题步骤 5.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

解题步骤 5.5.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}} d x$

解题步骤 5.5.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{3}{6}} d x$

解题步骤 5.6

在公分母上合并分子。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 - 3}{6}} d x$

解题步骤 5.7

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1}{6}} d x$

解题步骤 6

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{6}} d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

解题步骤 8

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{64}) + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{6}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ 。

$3 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{64}) + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}]_{1}^{64}$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 在 $64$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 ((2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}]_{1}^{64}$

解题步骤 11.2

计算 $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ 在 $64$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$3 (2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.3.1

约去公因数。

$3 (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.3.2

重写表达式。

$3 (2 \cdot 8^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.4

计算指数。

$3 (2 \cdot 8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.5

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$3 (16 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.6

一的任意次幂都为一。

$3 (16 - 2 \cdot 1) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$3 (16 - 2) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.8

从 $16$ 中减去 $2$ 。

$3 \cdot 14 + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.9

将 $3$ 乘以 $14$ 。

$42 + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.10

将 $64$ 重写为 $2^{6}$ 。

$42 + \frac{6}{5} \cdot {(2^{6})}^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.11

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{6 (\frac{5}{6})} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.12

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.12.1

约去公因数。

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{6 (\frac{5}{6})} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.12.2

重写表达式。

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.13

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$42 + \frac{6}{5} \cdot 32 - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.14

组合 $\frac{6}{5}$ 和 $32$ 。

$42 + \frac{6 \cdot 32}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.15

将 $6$ 乘以 $32$ 。

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 11.3.16

一的任意次幂都为一。

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1$

解题步骤 11.3.17

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5}$

解题步骤 11.3.18

在公分母上合并分子。

$42 + \frac{192 - 6}{5}$

解题步骤 11.3.19

从 $192$ 中减去 $6$ 。

$42 + \frac{186}{5}$

解题步骤 11.3.20

要将 $42$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$42 \cdot \frac{5}{5} + \frac{186}{5}$

解题步骤 11.3.21

组合 $42$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{42 \cdot 5}{5} + \frac{186}{5}$

解题步骤 11.3.22

在公分母上合并分子。

$\frac{42 \cdot 5 + 186}{5}$

解题步骤 11.3.23

化简分子。

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解题步骤 11.3.23.1

将 $42$ 乘以 $5$ 。

$\frac{210 + 186}{5}$

解题步骤 11.3.23.2

将 $210$ 和 $186$ 相加。

$\frac{396}{5}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{396}{5}$

小数形式：

$79.2$

带分数形式：

$79 \frac{1}{5}$

解题步骤 13

微积分学 示例

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