微积分学示例

$\int_{1}^{7} t^{3} - 10 t^{2} + 27 t - 18 d t$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{7} t^{3} d t + \int_{1}^{7} - 10 t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

解题步骤 2

根据幂法则， $t^{3}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{4} t^{4}$ 。

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 10 t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

解题步骤 3

由于 $- 10$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 10$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 \int_{1}^{7} t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t^{3}$ 。

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

解题步骤 6

由于 $27$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $27$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 \int_{1}^{7} t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

解题步骤 7

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 18 d t$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 18 d t$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + - 18 t]_{1}^{7}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7}$ 和 $- 18 t]_{1}^{7}$ 。

$\frac{1}{4} t^{4} - 18 t]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

解题步骤 10.2

代入并化简。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\frac{1}{4} t^{4} - 18 t$ 在 $7$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

解题步骤 10.2.2

计算 $\frac{t^{3}}{3}$ 在 $7$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

解题步骤 10.2.3

计算 $\frac{t^{2}}{2}$ 在 $7$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4

化简。

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解题步骤 10.2.4.1

对 $7$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \cdot 2401 - 18 \cdot 7 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2401$ 。

$\frac{2401}{4} - 18 \cdot 7 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3

将 $- 18$ 乘以 $7$ 。

$\frac{2401}{4} - 126 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.4

要将 $- 126$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2401}{4} - 126 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.5

组合 $- 126$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2401}{4} + \frac{- 126 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{2401 - 126 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.7

化简分子。

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解题步骤 10.2.4.7.1

将 $- 126$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2401 - 504}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.7.2

从 $2401$ 中减去 $504$ 。

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.8

一的任意次幂都为一。

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.9

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.10

将 $- 18$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.11

要将 $- 18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18 \cdot \frac{4}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.12

组合 $- 18$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 18 \cdot 4}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.13

在公分母上合并分子。

$\frac{1897}{4} - \frac{1 - 18 \cdot 4}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.14

化简分子。

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解题步骤 10.2.4.14.1

将 $- 18$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1897}{4} - \frac{1 - 72}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.14.2

从 $1$ 中减去 $72$ 。

$\frac{1897}{4} - \frac{- 71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.15

将负号移到分数的前面。

$\frac{1897}{4} - - \frac{71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.16

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1897}{4} + 1 (\frac{71}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.17

将 $\frac{71}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1897}{4} + \frac{71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.18

在公分母上合并分子。

$\frac{1897 + 71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.19

将 $1897$ 和 $71$ 相加。

$\frac{1968}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.20

约去 $1968$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.20.1

从 $1968$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 492}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.20.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.20.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 492}{4 (1)} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.20.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 492}{4 \cdot 1} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.20.2.3

重写表达式。

$\frac{492}{1} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.20.2.4

用 $492$ 除以 $1$ 。

$492 - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.21

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$492 - 10 (\frac{343}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.22

一的任意次幂都为一。

$492 - 10 (\frac{343}{3} - \frac{1}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.23

在公分母上合并分子。

$492 - 10 \frac{343 - 1}{3} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.24

从 $343$ 中减去 $1$ 。

$492 - 10 (\frac{342}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.25

约去 $342$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.25.1

从 $342$ 中分解出因数 $3$ 。

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.25.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.25.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3 (1)} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.25.2.2

约去公因数。

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3 \cdot 1} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.25.2.3

重写表达式。

$492 - 10 (\frac{114}{1}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.25.2.4

用 $114$ 除以 $1$ 。

$492 - 10 \cdot 114 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.26

将 $- 10$ 乘以 $114$ 。

$492 - 1140 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.27

从 $492$ 中减去 $1140$ 。

$- 648 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.28

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 648 + 27 (\frac{49}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.29

一的任意次幂都为一。

$- 648 + 27 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 10.2.4.30

在公分母上合并分子。

$- 648 + 27 \frac{49 - 1}{2}$

解题步骤 10.2.4.31

从 $49$ 中减去 $1$ 。

$- 648 + 27 (\frac{48}{2})$

解题步骤 10.2.4.32

约去 $48$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.32.1

从 $48$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2}$

解题步骤 10.2.4.32.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.32.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

解题步骤 10.2.4.32.2.2

约去公因数。

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

解题步骤 10.2.4.32.2.3

重写表达式。

$- 648 + 27 (\frac{24}{1})$

解题步骤 10.2.4.32.2.4

用 $24$ 除以 $1$ 。

$- 648 + 27 \cdot 24$

解题步骤 10.2.4.33

将 $27$ 乘以 $24$ 。

$- 648 + 648$

解题步骤 10.2.4.34

将 $- 648$ 和 $648$ 相加。

$0$

解题步骤 11

微积分学 示例

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