微积分学示例

$\int_{1}^{7} {(2 x - 1)}^{4} d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x - 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 2 x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 2 - 1$

解题步骤 1.3.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 2 x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 7 - 1$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$u_{upper} = 14 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $14$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 13$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 13$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{13} u^{4} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{4}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{1}^{13} \frac{u^{4}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{13} u^{4} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{13}$

解题步骤 5

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{5} u^{5}$ 在 $13$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 13^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

解题步骤 5.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

对 $13$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 371293 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $371293$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{371293}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

解题步骤 5.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} (\frac{371293}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1)$

解题步骤 5.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{371293}{5} - \frac{1}{5})$

解题步骤 5.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{371293 - 1}{5}$

解题步骤 5.2.6

从 $371293$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{371292}{5}$

解题步骤 5.2.7

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{371292}{5}$ 。

$\frac{371292}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.2.8

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{371292}{10}$

解题步骤 5.2.9

约去 $371292$ 和 $10$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.9.1

从 $371292$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (185646)}{10}$

解题步骤 5.2.9.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.9.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 185646}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 185646}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{185646}{5}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{185646}{5}$

小数形式：

$37129.2$

带分数形式：

$37129 \frac{1}{5}$

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例