微积分学示例

$\int_{1}^{7} \frac{10 x^{2} + 9}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{7} \frac{10 x^{2} + 9}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{7} (10 x^{2} + 9) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4

展开 $(10 x^{2} + 9) x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int_{1}^{7} 10 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{7} 10 x^{2 - \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{1}^{7} 10 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{4 - 1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.6.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{7} 10 x^{\frac{3}{2}} d x + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$10 \int_{1}^{7} x^{\frac{3}{2}} d x + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$10 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$10 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 9 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 9

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$10 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{7}) + 9 \int_{1}^{7} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$10 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{7}) + 9 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{7})$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

代入并化简。

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解题步骤 11.1.1

计算 $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ 在 $7$ 处和在 $1$ 处的值。

$10 ((\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 9 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{7})$

解题步骤 11.1.2

计算 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 在 $7$ 处和在 $1$ 处的值。

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 11.1.3

化简。

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解题步骤 11.1.3.1

一的任意次幂都为一。

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 11.1.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 11.1.3.3

一的任意次幂都为一。

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

解题步骤 11.1.3.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$10 (\frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

运用分配律。

$10 \frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

解题步骤 11.2.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (2) \frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

解题步骤 11.2.1.2.2

约去公因数。

$5 \cdot 2 \frac{2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}}{5} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

解题步骤 11.2.1.2.3

重写表达式。

$2 (2 \cdot 7^{\frac{5}{2}}) + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

解题步骤 11.2.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 10 (- \frac{2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1

将 $- \frac{2}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 10 (\frac{- 2}{5}) + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

解题步骤 11.2.1.4.2

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 5 (2) \frac{- 2}{5} + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

解题步骤 11.2.1.4.3

约去公因数。

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 5 \cdot 2 \frac{- 2}{5} + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

解题步骤 11.2.1.4.4

重写表达式。

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 2 + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

解题步骤 11.2.1.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 2)$

解题步骤 11.2.1.6

运用分配律。

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 9 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}}) + 9 \cdot - 2$

解题步骤 11.2.1.7

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} + 9 \cdot - 2$

解题步骤 11.2.1.8

将 $9$ 乘以 $- 2$ 。

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} - 4 + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 18$

解题步骤 11.2.2

从 $- 4$ 中减去 $18$ 。

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 22$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$4 \cdot 7^{\frac{5}{2}} + 18 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 22$

小数形式：

$544.19078056 \dots$

解题步骤 13

微积分学 示例

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