微积分学示例

$\int_{1}^{8} - \frac{1}{8} x + 1 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{8} - \frac{1}{8} x d x + \int_{1}^{8} d x$

解题步骤 2

由于 $- \frac{1}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{8}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{8} \int_{1}^{8} x d x + \int_{1}^{8} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- \frac{1}{8} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{8} + \int_{1}^{8} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{8} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{8} + x]_{1}^{8}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $8$ 处和在 $1$ 处的值。

$- \frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 8^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + x]_{1}^{8}$

解题步骤 5.2

计算 $x$ 在 $8$ 处和在 $1$ 处的值。

$- \frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 8^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 64 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $64$ 。

$- \frac{1}{8} (\frac{64}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

解题步骤 5.3.3

约去 $64$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $64$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

解题步骤 5.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

解题步骤 5.3.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{8} (\frac{32}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

解题步骤 5.3.3.2.4

用 $32$ 除以 $1$ 。

$- \frac{1}{8} (32 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) + 8 - 1$

解题步骤 5.3.4

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{8} (32 - \frac{1}{2} \cdot 1) + 8 - 1$

解题步骤 5.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{8} (32 - \frac{1}{2}) + 8 - 1$

解题步骤 5.3.6

要将 $32$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{8} (32 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 8 - 1$

解题步骤 5.3.7

组合 $32$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{8} (\frac{32 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 8 - 1$

解题步骤 5.3.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{2} + 8 - 1$

解题步骤 5.3.9

化简分子。

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解题步骤 5.3.9.1

将 $32$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{64 - 1}{2} + 8 - 1$

解题步骤 5.3.9.2

从 $64$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{63}{2} + 8 - 1$

解题步骤 5.3.10

将 $\frac{63}{2}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$- \frac{63}{2 \cdot 8} + 8 - 1$

解题步骤 5.3.11

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{63}{16} + 8 - 1$

解题步骤 5.3.12

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{63}{16} + 7$

解题步骤 5.3.13

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$- \frac{63}{16} + 7 \cdot \frac{16}{16}$

解题步骤 5.3.14

组合 $7$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$- \frac{63}{16} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

解题步骤 5.3.15

在公分母上合并分子。

$\frac{- 63 + 7 \cdot 16}{16}$

解题步骤 5.3.16

化简分子。

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解题步骤 5.3.16.1

将 $7$ 乘以 $16$ 。

$\frac{- 63 + 112}{16}$

解题步骤 5.3.16.2

将 $- 63$ 和 $112$ 相加。

$\frac{49}{16}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{49}{16}$

小数形式：

$3.0625$

带分数形式：

$3 \frac{1}{16}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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