微积分学示例

$\int_{1}^{7} t^{2} - 2 t - 24 d t$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{7} t^{2} d t + \int_{1}^{7} - 2 t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

解题步骤 2

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 2 t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

解题步骤 3

由于 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 \int_{1}^{7} t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 24 d t$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 24 d t$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + - 24 t]_{1}^{7}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7}$ 和 $- 24 t]_{1}^{7}$ 。

$\frac{1}{3} t^{3} - 24 t]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{1}{3} t^{3} - 24 t$ 在 $7$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 7^{3} - 24 \cdot 7) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{t^{2}}{2}$ 在 $7$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 7^{3} - 24 \cdot 7) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 343 - 24 \cdot 7 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $343$ 。

$\frac{343}{3} - 24 \cdot 7 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3

将 $- 24$ 乘以 $7$ 。

$\frac{343}{3} - 168 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.4

要将 $- 168$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{343}{3} - 168 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.5

组合 $- 168$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{343}{3} + \frac{- 168 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{343 - 168 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.7.1

将 $- 168$ 乘以 $3$ 。

$\frac{343 - 504}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7.2

从 $343$ 中减去 $504$ 。

$\frac{- 161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.9

一的任意次幂都为一。

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.10

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.11

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.12

要将 $- 24$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24 \cdot \frac{3}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.13

组合 $- 24$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.14

在公分母上合并分子。

$- \frac{161}{3} - \frac{1 - 24 \cdot 3}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.15

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.15.1

将 $- 24$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{161}{3} - \frac{1 - 72}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.15.2

从 $1$ 中减去 $72$ 。

$- \frac{161}{3} - \frac{- 71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{161}{3} - - \frac{71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.17

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{161}{3} + 1 (\frac{71}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.18

将 $\frac{71}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{161}{3} + \frac{71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.19

在公分母上合并分子。

$\frac{- 161 + 71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.20

将 $- 161$ 和 $71$ 相加。

$\frac{- 90}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.21

约去 $- 90$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.21.1

从 $- 90$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 30}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.21.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.21.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 30}{3 (1)} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.21.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 30}{3 \cdot 1} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.21.2.3

重写表达式。

$\frac{- 30}{1} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.21.2.4

用 $- 30$ 除以 $1$ 。

$- 30 - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.22

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 30 - 2 (\frac{49}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.23

一的任意次幂都为一。

$- 30 - 2 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2.3.24

在公分母上合并分子。

$- 30 - 2 \frac{49 - 1}{2}$

解题步骤 7.2.3.25

从 $49$ 中减去 $1$ 。

$- 30 - 2 (\frac{48}{2})$

解题步骤 7.2.3.26

约去 $48$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.26.1

从 $48$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2}$

解题步骤 7.2.3.26.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.26.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

解题步骤 7.2.3.26.2.2

约去公因数。

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.26.2.3

重写表达式。

$- 30 - 2 (\frac{24}{1})$

解题步骤 7.2.3.26.2.4

用 $24$ 除以 $1$ 。

$- 30 - 2 \cdot 24$

解题步骤 7.2.3.27

将 $- 2$ 乘以 $24$ 。

$- 30 - 48$

解题步骤 7.2.3.28

从 $- 30$ 中减去 $48$ 。

$- 78$

解题步骤 8

微积分学 示例

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