微积分学示例

$\int_{1}^{5} {(7 - \frac{4}{y})}^{2} d y$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 ${(7 - \frac{4}{y})}^{2}$ 重写为 $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ 。

$\int_{1}^{5} (7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y}) d y$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\int_{1}^{5} 7 (7 - \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\int_{1}^{5} 49 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

解题步骤 1.3.1.2

乘以 $7 (- \frac{4}{y})$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\int_{1}^{5} 49 - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

解题步骤 1.3.1.2.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{4}{y}$ 。

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

解题步骤 1.3.1.2.3

将 $- 7$ 乘以 $4$ 。

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

解题步骤 1.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

解题步骤 1.3.1.4

乘以 $- \frac{4}{y} \cdot 7$ 。

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解题步骤 1.3.1.4.1

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

解题步骤 1.3.1.4.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{4}{y}$ 。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

解题步骤 1.3.1.4.3

将 $- 7$ 乘以 $4$ 。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

解题步骤 1.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

解题步骤 1.3.1.6

乘以 $- \frac{4}{y} (- \frac{4}{y})$ 。

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解题步骤 1.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + 1 \frac{4}{y} \frac{4}{y} d y$

解题步骤 1.3.1.6.2

将 $\frac{4}{y}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4}{y} \cdot \frac{4}{y} d y$

解题步骤 1.3.1.6.3

将 $\frac{4}{y}$ 乘以 $\frac{4}{y}$ 。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4 \cdot 4}{y \cdot y} d y$

解题步骤 1.3.1.6.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y \cdot y} d y$

解题步骤 1.3.1.6.5

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y} d y$

解题步骤 1.3.1.6.6

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y^{1}} d y$

解题步骤 1.3.1.6.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1 + 1}} d y$

解题步骤 1.3.1.6.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

解题步骤 1.3.2

从 $- \frac{28}{y}$ 中减去 $\frac{28}{y}$ 。

$\int_{1}^{5} 49 - 2 \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

解题步骤 1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1

乘以 $- 2 \frac{28}{y}$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{28}{y}$ 。

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 2 \cdot 28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

解题步骤 1.4.1.2

将 $- 2$ 乘以 $28$ 。

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

解题步骤 1.4.2

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{5} 49 d y + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$49 y]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$49 y]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

解题步骤 5

由于 $56$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $56$ 移到积分外。

$49 y]_{1}^{5} - (56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

解题步骤 6

将 $56$ 乘以 $- 1$ 。

$49 y]_{1}^{5} - 56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

解题步骤 7

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

解题步骤 8

由于 $16$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} \frac{1}{y^{2}} d y$

解题步骤 9

应用指数的基本规则。

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解题步骤 9.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} {(y^{2})}^{- 1} d y$

解题步骤 9.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{2 \cdot - 1} d y$

解题步骤 9.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{- 2} d y$

解题步骤 10

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

代入并化简。

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解题步骤 11.1.1

计算 $49 y$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$(49 \cdot 5) - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

解题步骤 11.1.2

计算 $\ln (| y |)$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

解题步骤 11.1.3

计算 $- y^{- 1}$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 11.1.4

化简。

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解题步骤 11.1.4.1

将 $49$ 乘以 $5$ 。

$245 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 11.1.4.2

将 $- 49$ 乘以 $1$ 。

$245 - 49 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 11.1.4.3

从 $245$ 中减去 $49$ 。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 11.1.4.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

解题步骤 11.1.4.5

一的任意次幂都为一。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1)$

解题步骤 11.1.4.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

解题步骤 11.1.4.7

在公分母上合并分子。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 \frac{- 1 + 5}{5}$

解题步骤 11.1.4.8

将 $- 1$ 和 $5$ 相加。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (\frac{4}{5})$

解题步骤 11.1.4.9

组合 $16$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{16 \cdot 4}{5}$

解题步骤 11.1.4.10

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{64}{5}$

解题步骤 11.1.4.11

要将 $196$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$196 \cdot \frac{5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.4.12

组合 $196$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{196 \cdot 5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.4.13

在公分母上合并分子。

$\frac{196 \cdot 5 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.4.14

化简分子。

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解题步骤 11.1.4.14.1

将 $196$ 乘以 $5$ 。

$\frac{980 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.4.14.2

将 $980$ 和 $64$ 相加。

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.4.15

要将 $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 11.1.4.16

组合 $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1044}{5} + \frac{- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

解题步骤 11.1.4.17

在公分母上合并分子。

$\frac{1044 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

解题步骤 11.1.4.18

将 $5$ 乘以 $- 56$ 。

$\frac{1044 - 280 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))}{5}$

解题步骤 11.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{5}$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{| 1 |})}{5}$

解题步骤 11.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{1})}{5}$

解题步骤 11.3.3

用 $5$ 除以 $1$ 。

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

小数形式：

$118.67147690 \dots$

解题步骤 13

微积分学 示例

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