微积分学示例

$\int_{1}^{5} - \frac{5}{x} d x$

解题步骤 1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{5} \frac{5}{x} d x$

解题步骤 2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$- (5 \int_{1}^{5} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 \int_{1}^{5} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- 5 (\ln (| x |)]_{1}^{5})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

计算 $\ln (| x |)$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$- 5 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 5.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- 5 \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$- 5 \ln (\frac{5}{| 1 |})$

解题步骤 5.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$- 5 \ln (\frac{5}{1})$

解题步骤 5.3.3

用 $5$ 除以 $1$ 。

$- 5 \ln (5)$

$- 5 \ln (5)$

$- 5 \ln (5)$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 5 \ln (5)$

小数形式：

$- 8.04718956 \dots$

解题步骤 7

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$