微积分学示例

$\int_{1}^{5} \ln (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} x \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$\ln (x) x]_{1}^{5} - (x]_{1}^{5})$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $\ln (x) x$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{5})$

解题步骤 4.2

计算 $x$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $5$ 移到 $\ln (5)$ 的左侧。

$5 \cdot \ln (5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$5 \ln (5) - \ln (1) - ((5) - 1)$

解题步骤 4.3.3

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$5 \ln (5) - \ln (1) - 1 \cdot 4$

解题步骤 4.3.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$5 \ln (5) - \ln (1) - 4$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$5 \ln (5) - 0 - 4$

解题步骤 5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$5 \ln (5) + 0 - 4$

解题步骤 5.2

将 $5 \ln (5)$ 和 $0$ 相加。

$5 \ln (5) - 4$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$5 \ln (5) - 4$

小数形式：

$4.04718956 \dots$

微积分学 示例

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