微积分学示例

$\int_{1}^{5} \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 \int_{1}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \int_{1}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

$2 \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

$2 \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$2 (- x^{- 1}]_{1}^{5})$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $- x^{- 1}$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

解题步骤 4.2.2

一的任意次幂都为一。

$2 (- \frac{1}{5} + 1)$

解题步骤 4.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$2 \frac{- 1 + 5}{5}$

解题步骤 4.2.5

将 $- 1$ 和 $5$ 相加。

$2 (\frac{4}{5})$

解题步骤 4.2.6

组合 $2$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{5}$

解题步骤 4.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8}{5}$

$\frac{8}{5}$

$\frac{8}{5}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{8}{5}$

小数形式：

$1.6$

带分数形式：

$1 \frac{3}{5}$

解题步骤 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$