微积分学示例

$\int_{1}^{4} x \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{4} x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{4} x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 3.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 3.2.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 3.2.4

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 3.2.5

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $32$ 。

$\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 乘以 $32$ 。

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 3.2.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

解题步骤 3.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5}$

解题步骤 3.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{64 - 2}{5}$

解题步骤 3.2.10

从 $64$ 中减去 $2$ 。

$\frac{62}{5}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{62}{5}$

小数形式：

$12.4$

带分数形式：

$12 \frac{2}{5}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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