微积分学示例

$\int_{- 2 x}^{2 x} s^{2} d s$

解题步骤 1

将积分拆分为两个积分，其中 $c$ 是 $- 2 x$ 和 $2 x$ 之间的某个值。

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

解题步骤 3

交换积分的上下界。

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

解题步骤 4

使用微积分基本定理和链式法则，取 $- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [- 2 x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

解题步骤 5.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

解题步骤 6

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ 对 $x$ 的导数。

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x] {(2 x)}^{2}$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x] {(2 x)}^{2}$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \cdot 1 {(2 x)}^{2}$

解题步骤 7.3

化简项。

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解题步骤 7.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

解题步骤 7.3.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (- {(- 2 (x))}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

解题步骤 7.3.3

化简表达式。

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解题步骤 7.3.3.1

对 $- 2 (x)$ 运用乘积法则。

$- 2 (- ({(- 2)}^{2} x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

解题步骤 7.3.3.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 (- (4 x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

解题步骤 7.3.3.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (- 4 x^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

解题步骤 7.3.3.4

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$8 x^{2} + 2 {(2 x)}^{2}$

解题步骤 7.3.4

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 x^{2} + 2 {(2 (x))}^{2}$

解题步骤 7.3.5

化简表达式。

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解题步骤 7.3.5.1

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$8 x^{2} + 2 (2^{2} x^{2})$

解题步骤 7.3.5.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 x^{2} + 2 (4 x^{2})$

解题步骤 7.3.5.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{2} + 8 x^{2}$

解题步骤 7.3.6

将 $8 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$16 x^{2}$

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