微积分学示例

$(\cos (0) + \cos (\frac{π}{8}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) (\frac{π}{8})$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$(1 + \cos (\frac{π}{8}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.2

$\cos (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$(1 + \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.2.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$(1 \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.2.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$(1 + \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.2.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(1 + \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.2.5

化简 $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$(1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.2.5.2

在公分母上合并分子。

$(1 + \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.2.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$(1 + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.2.5.4

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.5.4.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$(1 + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.2.5.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(1 + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.2.5.5

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.2.5.6

化简分母。

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解题步骤 1.2.5.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.2.5.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{8})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4

$\cos (\frac{3 π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{3 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4.4

化简 $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4.4.4

在公分母上合并分子。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4.4.8

化简分母。

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解题步骤 1.4.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}) \frac{π}{8}$

解题步骤 1.4.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$(1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

解题步骤 2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$(\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

解题步骤 2.2

合并分数。

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解题步骤 2.2.1

在公分母上合并分子。

$(\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

解题步骤 2.2.2

在公分母上合并分子。

$(\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \frac{π}{8}$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{π}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$

解题步骤 3

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{π}{8}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{π}{8}$ 。

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{2 \cdot 8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$

解题步骤 4

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{8}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{π}{8}$ 。

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16} + \frac{\sqrt{2} π}{2 \cdot 8}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16} + \frac{\sqrt{2} π}{16}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π + \sqrt{2} π}{16}$

解题步骤 6

运用分配律。

$\frac{2 π + \sqrt{2 + \sqrt{2}} π + \sqrt{2 - \sqrt{2}} π + \sqrt{2} π}{16}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 π + \sqrt{2 + \sqrt{2}} π + \sqrt{2 - \sqrt{2}} π + \sqrt{2} π}{16}$

小数形式：

$1.18346534 \dots$

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