微积分学示例

$40 h^{5} + 4000000 = p^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d p} (40 h^{5} + 4000000) = \frac{d}{d p} (p^{3})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $40 h^{5} + 4000000$ 对 $p$ 的导数是 $\frac{d}{d p} [40 h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$ 。

$\frac{d}{d p} [40 h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d p} [40 h^{5}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $40$ 对于 $p$ 是常数，所以 $40 h^{5}$ 对 $p$ 的导数是 $40 \frac{d}{d p} [h^{5}]$ 。

$40 \frac{d}{d p} [h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ 等于 $f' (g (p)) g' (p)$ ，其中 $f (p) = p^{5}$ 且 $g (p) = h$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $h$ 。

$40 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$40 (5 u^{4} \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $h$ 替换所有出现的 $u$ 。

$40 (5 h^{4} \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d p} [h]$ 重写为 $h'$ 。

$40 (5 h^{4} h') + \frac{d}{d p} [4000000]$

解题步骤 2.2.4

将 $5$ 乘以 $40$ 。

$200 h^{4} h' + \frac{d}{d p} [4000000]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4000000$ 对于 $p$ 是常数，所以 $4000000$ 对 $p$ 的导数为 $0$ 。

$200 h^{4} h' + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $200 h^{4} h'$ 和 $0$ 相加。

$200 h^{4} h'$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 p^{2}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$200 h^{4} h' = 3 p^{2}$

解题步骤 5

将 $200 h^{4} h' = 3 p^{2}$ 中的每一项除以 $200 h^{4}$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $200 h^{4} h' = 3 p^{2}$ 中的每一项都除以 $200 h^{4}$ 。

$\frac{200 h^{4} h'}{200 h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $200$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{200 h^{4} h'}{200 h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

解题步骤 5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{h^{4} h'}{h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

解题步骤 5.2.2

约去 $h^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{h^{4} h'}{h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

解题步骤 5.2.2.2

用 $h'$ 除以 $1$ 。

$h' = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d h}{d p}$ 替换 $h'$ 。

$\frac{d h}{d p} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

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