微积分学示例

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

解题步骤 1

将 $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ 写为等式。

$y = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 2 \ln (\frac{y}{2} + 1)$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ 。

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$

解题步骤 3.2

将 $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $\ln (\frac{y}{2} + 1)$ 除以 $1$ 。

$\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{y}{2} + 1)} = e^{\frac{x}{2}}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{y}{2} + 1$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$ 。

$\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\frac{y}{2} = e^{\frac{x}{2}} - 1$

解题步骤 3.5.3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

解题步骤 3.5.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

解题步骤 3.5.4.1.1.2

重写表达式。

$y = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

解题步骤 3.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.4.2.1

化简 $2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$ 。

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解题步骤 3.5.4.2.1.1

运用分配律。

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot - 1$

解题步骤 3.5.4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ 是否为 $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1))$ 。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

解题步骤 5.2.3.1.2

用 $\ln (\frac{x}{2} + 1)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} + 1)} - 2$

解题步骤 5.2.3.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

解题步骤 5.2.3.3

运用分配律。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

解题步骤 5.2.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

解题步骤 5.2.3.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 \cdot 1 - 2$

解题步骤 5.2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 - 2$

解题步骤 5.2.4

合并 $x + 2 - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2)$ 。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 e^{\frac{x}{2}} - 2}{2} + 1)$

解题步骤 5.3.3

约去 $2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $2 e^{\frac{x}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) - 2}{2} + 1)$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

解题步骤 5.3.3.3

从 $2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2} + 1)$

解题步骤 5.3.3.4

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 (1)} + 1)$

解题步骤 5.3.3.4.2

约去公因数。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

解题步骤 5.3.3.4.3

重写表达式。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{e^{\frac{x}{2}} - 1}{1} + 1)$

解题步骤 5.3.3.4.4

用 $e^{\frac{x}{2}} - 1$ 除以 $1$ 。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1)$

解题步骤 5.3.4

合并 $e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

解题步骤 5.3.4.2

将 $e^{\frac{x}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

解题步骤 5.3.5

使用对数规则把 $\frac{x}{2}$ 移到指数外部。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

解题步骤 5.3.6

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

解题步骤 5.3.7

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

解题步骤 5.3.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.1

约去公因数。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

解题步骤 5.3.8.2

重写表达式。

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ 为 $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

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