微积分学示例

$\frac{d}{(d x) \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

解题步骤 1

约去 $d$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

约去公因数。

$\frac{d}{d x \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

解题步骤 1.2

重写表达式。

$\frac{1}{x \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{x (\int_{0}^{x} 13 t^{2} d t + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

解题步骤 3

由于 $13$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $13$ 移到积分外。

$\frac{1}{x (13 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

解题步骤 4

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$\frac{1}{x (13 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

解题步骤 5

合并分数。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t^{3}$ 。

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

解题步骤 5.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} t^{\frac{1}{2}} d t)}$

解题步骤 6

根据幂法则， $t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{x})}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $t^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{x})}$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{t^{3}}{3}$ 在 $x$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{x (13 ((\frac{x^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{x})}$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $x$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

解题步骤 7.2.3.2

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

解题步骤 7.2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

解题步骤 7.2.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

解题步骤 7.2.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

解题步骤 7.2.3.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

解题步骤 7.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

解题步骤 7.2.3.4

将 $\frac{x^{3}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x (13 \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

解题步骤 7.2.3.5

组合 $13$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

解题步骤 7.2.3.6

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})}$

解题步骤 7.2.3.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})}$

解题步骤 7.2.3.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.8.1

约去公因数。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})}$

解题步骤 7.2.3.8.2

重写表达式。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})}$

解题步骤 7.2.3.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})}$

解题步骤 7.2.3.10

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{0}{3})}$

解题步骤 7.2.3.11

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.11.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 (0)}{3})}$

解题步骤 7.2.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}$

解题步骤 7.2.3.11.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}$

解题步骤 7.2.3.11.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{0}{1})}$

解题步骤 7.2.3.11.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 0)}$

解题步骤 7.2.3.12

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 0)}$

解题步骤 7.2.3.13

将 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3})}$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$\frac{1}{x (\frac{13}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简分母。

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解题步骤 8.1.1

从 $\frac{13}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 8.1.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 8.1.1.1.1

将 $\frac{13}{3}$ 和 $x^{3}$ 重新排序。

$\frac{1}{x (x^{3} \frac{13}{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 8.1.1.1.2

将 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 重新排序。

$\frac{1}{x (x^{3} \frac{13}{3} + x^{\frac{3}{2}} \frac{2}{3})}$

解题步骤 8.1.1.2

从 $x^{3} \frac{13}{3}$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{2}{3})}$

解题步骤 8.1.1.3

从 $x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3}) + x^{\frac{3}{2}} (\frac{2}{3})$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3} + \frac{2}{3}))}$

解题步骤 8.1.2

组合 $x^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{13}{3}$ 。

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 13}{3} + \frac{2}{3}))}$

解题步骤 8.1.3

将 $13$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3}))}$

解题步骤 8.1.4

去掉多余的括号。

$\frac{1}{x \cdot x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

解题步骤 8.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 8.1.5.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 8.1.5.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{1} x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

解题步骤 8.1.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{1 + \frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

解题步骤 8.1.5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

解题步骤 8.1.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x^{\frac{2 + 3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

解题步骤 8.1.5.4

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

解题步骤 8.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}} \frac{13 x^{\frac{3}{2}} + 2}{3}}$

解题步骤 8.2

组合 $x^{\frac{5}{2}}$ 和 $\frac{13 x^{\frac{3}{2}} + 2}{3}$ 。

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}{3}}$

解题步骤 8.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$

解题步骤 8.4

将 $\frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$

微积分学 示例

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