微积分学示例

$4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y) = 5 \sin (y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (5 \sin (y))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x \cos (y)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (y)$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y$ 。

$4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

解题步骤 2.2.3.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$4 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 (x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

解题步骤 2.2.6

将 $\cos (y)$ 乘以 $1$ 。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 \sin (2 y)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ 。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 y$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 y$ 。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y])$

解题步骤 2.3.2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y])$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $2 y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y])$

解题步骤 2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y]))$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 y'))$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 14 \cos (2 y) y'$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$4 (x (- \sin (y) y')) + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

解题步骤 2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 x \sin (y) y' + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y)$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \sin (y)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$5 \cos (y) y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $4 \cos (y)$ 。

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = 5 \cos (y) y' - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $5 \cos (y) y'$ 。

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.4

化简左边。

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解题步骤 5.4.1

化简 $- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y'$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.1.1

运用分配律。

$- 4 x \sin (y) y' + (14 \cdot 1 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.4.1.1.2

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$- 4 x \sin (y) y' + (14 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.4.1.1.3

将 $- 2$ 乘以 $14$ 。

$- 4 x \sin (y) y' + (14 - 28 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.4.1.1.4

运用分配律。

$- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.4.1.2

将 $- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y'$ 中的因式重新排序。

$- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.5

求解 $y'$ 的方程。

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解题步骤 5.5.1

从 $- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

从 $- 4 x y' \sin (y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 4 x \sin (y)) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.5.1.2

从 $14 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.5.1.3

从 $- 28 y' \sin^{2} (y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.5.1.4

从 $- 5 y' \cos (y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.5.1.5

从 $y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.5.1.6

从 $y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y))$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.5.1.7

从 $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y))$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

解题步骤 5.5.2

将 $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ 中的每一项除以 $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ 中的每一项都除以 $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ 。

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

解题步骤 5.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去 $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

解题步骤 5.5.2.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

解题步骤 5.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

解题步骤 5.5.2.3.2

从 $- 4 x \sin (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

解题步骤 5.5.2.3.3

将 $14$ 重写为 $- 1 (- 14)$ 。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

解题步骤 5.5.2.3.4

从 $- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

解题步骤 5.5.2.3.5

从 $- 28 \sin^{2} (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

解题步骤 5.5.2.3.6

从 $- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

解题步骤 5.5.2.3.7

从 $- 5 \cos (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))}$

解题步骤 5.5.2.3.8

从 $- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

解题步骤 5.5.2.3.9

化简表达式。

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解题步骤 5.5.2.3.9.1

将 $- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ 重写为 $- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ 。

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

解题步骤 5.5.2.3.9.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - - \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

解题步骤 5.5.2.3.9.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y' = 1 \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

解题步骤 5.5.2.3.9.4

将 $\frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

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