微积分学示例

$\int 3 x^{2} \cos (x^{3}) d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int x^{2} \cos (x^{3}) d x$

解题步骤 2

使 $u = x^{3}$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$3 \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{3} \int \cos (u) d u$

解题步骤 5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{3} \int \cos (u) d u$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$1 \int \cos (u) d u$

解题步骤 5.3

将 $\int \cos (u) d u$ 乘以 $1$ 。

$\int \cos (u) d u$

解题步骤 6

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\sin (u) + C$

解题步骤 7

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sin (x^{3}) + C$

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