微积分学示例

$\int_{4}^{7} 6 (t^{2} - 11 t + 30) d t$

解题步骤 1

由于 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int_{4}^{7} t^{2} - 11 t + 30 d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$6 (\int_{4}^{7} t^{2} d t + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

解题步骤 3

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$6 (\frac{1}{3} t^{3}]_{4}^{7} + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t^{3}$ 。

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

解题步骤 5

由于 $- 11$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 11$ 移到积分外。

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 \int_{4}^{7} t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

解题步骤 6

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{1}{2} t^{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 30 d t)$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 30 d t)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}) + 30 t]_{4}^{7})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7}$ 和 $30 t]_{4}^{7}$ 。

$6 (\frac{t^{3}}{3} + 30 t]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}))$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{t^{3}}{3} + 30 t$ 在 $7$ 处和在 $4$ 处的值。

$6 ((\frac{7^{3}}{3} + 30 \cdot 7) - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}))$

解题步骤 9.2.2

计算 $\frac{t^{2}}{2}$ 在 $7$ 处和在 $4$ 处的值。

$6 ((\frac{7^{3}}{3} + 30 \cdot 7) - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3

化简。

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解题步骤 9.2.3.1

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$6 (\frac{343}{3} + 30 \cdot 7 - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.2

将 $30$ 乘以 $7$ 。

$6 (\frac{343}{3} + 210 - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.3

要将 $210$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{343}{3} + 210 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.4

组合 $210$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{343}{3} + \frac{210 \cdot 3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.5

在公分母上合并分子。

$6 (\frac{343 + 210 \cdot 3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.6.1

将 $210$ 乘以 $3$ 。

$6 (\frac{343 + 630}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.6.2

将 $343$ 和 $630$ 相加。

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.7

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.8

将 $30$ 乘以 $4$ 。

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 120) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.9

要将 $120$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 120 \cdot \frac{3}{3}) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.10

组合 $120$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + \frac{120 \cdot 3}{3}) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.11

在公分母上合并分子。

$6 (\frac{973}{3} - \frac{64 + 120 \cdot 3}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.12

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.12.1

将 $120$ 乘以 $3$ 。

$6 (\frac{973}{3} - \frac{64 + 360}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.12.2

将 $64$ 和 $360$ 相加。

$6 (\frac{973}{3} - \frac{424}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.13

在公分母上合并分子。

$6 (\frac{973 - 424}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.14

从 $973$ 中减去 $424$ 。

$6 (\frac{549}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.15

约去 $549$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.15.1

从 $549$ 中分解出因数 $3$ 。

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.15.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.15.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3 (1)} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.15.2.2

约去公因数。

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3 \cdot 1} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.15.2.3

重写表达式。

$6 (\frac{183}{1} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.15.2.4

用 $183$ 除以 $1$ 。

$6 (183 - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.16

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{4^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.3.17

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{16}{2}))$

解题步骤 9.2.3.18

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.18.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2}))$

解题步骤 9.2.3.18.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.18.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}))$

解题步骤 9.2.3.18.2.2

约去公因数。

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}))$

解题步骤 9.2.3.18.2.3

重写表达式。

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{8}{1}))$

解题步骤 9.2.3.18.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 1 \cdot 8))$

解题步骤 9.2.3.19

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 8))$

解题步骤 9.2.3.20

要将 $- 8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2}))$

解题步骤 9.2.3.21

组合 $- 8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2}))$

解题步骤 9.2.3.22

在公分母上合并分子。

$6 (183 - 11 \frac{49 - 8 \cdot 2}{2})$

解题步骤 9.2.3.23

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.23.1

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$6 (183 - 11 \frac{49 - 16}{2})$

解题步骤 9.2.3.23.2

从 $49$ 中减去 $16$ 。

$6 (183 - 11 (\frac{33}{2}))$

解题步骤 9.2.3.24

组合 $- 11$ 和 $\frac{33}{2}$ 。

$6 (183 + \frac{- 11 \cdot 33}{2})$

解题步骤 9.2.3.25

将 $- 11$ 乘以 $33$ 。

$6 (183 + \frac{- 363}{2})$

解题步骤 9.2.3.26

将负号移到分数的前面。

$6 (183 - \frac{363}{2})$

解题步骤 9.2.3.27

要将 $183$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (183 \cdot \frac{2}{2} - \frac{363}{2})$

解题步骤 9.2.3.28

组合 $183$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (\frac{183 \cdot 2}{2} - \frac{363}{2})$

解题步骤 9.2.3.29

在公分母上合并分子。

$6 \frac{183 \cdot 2 - 363}{2}$

解题步骤 9.2.3.30

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.30.1

将 $183$ 乘以 $2$ 。

$6 \frac{366 - 363}{2}$

解题步骤 9.2.3.30.2

从 $366$ 中减去 $363$ 。

$6 (\frac{3}{2})$

解题步骤 9.2.3.31

组合 $6$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{6 \cdot 3}{2}$

解题步骤 9.2.3.32

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{18}{2}$

解题步骤 9.2.3.33

约去 $18$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.33.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

解题步骤 9.2.3.33.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.33.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

解题步骤 9.2.3.33.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.3.33.2.3

重写表达式。

$\frac{9}{1}$

解题步骤 9.2.3.33.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$9$

解题步骤 10

微积分学 示例

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