微积分学示例

$\int - 7 x e^{4 x - 2} d x$

解题步骤 1

由于 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 7$ 移到积分外。

$- 7 \int x e^{4 x - 2} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{4 x - 2}$ 。

$- 7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x - 2}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x - 2}$ 。

$- 7 (x \frac{e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

解题步骤 3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{4 x - 2}}{4}$ 。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x - 2}$ 。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{e^{4 x - 2}}{4} d x)$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x - 2} d x))$

解题步骤 5

使 $u = 4 x - 2$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 4 x - 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $4 x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $4 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

解题步骤 6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 8.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

解题步骤 9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ 重写为 $- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ 。

$- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x$ 。

$- 7 (\frac{x}{4} e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

解题步骤 10.2.2

组合 $\frac{x}{4}$ 和 $e^{4 x - 2}$ 。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

解题步骤 10.2.3

要将 $- \frac{1}{16} e^{u}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot \frac{4}{4}) + C$

解题步骤 10.2.4

组合 $- \frac{1}{16} e^{u}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} + \frac{- \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4}) + C$

解题步骤 10.2.5

在公分母上合并分子。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 10.2.6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{16} \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 10.2.7

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - 4 \frac{e^{u}}{16}}{4} + C$

解题步骤 10.2.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{e^{u}}{16}$ 。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- 4 e^{u}}{16}}{4} + C$

解题步骤 10.2.9

约去 $- 4$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.9.1

从 $- 4 e^{u}$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{16}}{4} + C$

解题步骤 10.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.9.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 (4)}}{4} + C$

解题步骤 10.2.9.2.2

约去公因数。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 \cdot 4}}{4} + C$

解题步骤 10.2.9.2.3

重写表达式。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- e^{u}}{4}}{4} + C$

解题步骤 10.2.10

将负号移到分数的前面。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

解题步骤 10.2.11

要将 $x e^{4 x - 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

解题步骤 10.2.12

组合 $x e^{4 x - 2}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

解题步骤 10.2.13

在公分母上合并分子。

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4 - e^{u}}{4}}{4} + C$

解题步骤 10.2.14

将 $4$ 移到 $x e^{4 x - 2}$ 的左侧。

$- 7 \frac{\frac{4 \cdot (x e^{4 x - 2}) - e^{u}}{4}}{4} + C$

解题步骤 10.2.15

将 $\frac{\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}}{4}$ 重写为乘积形式。

$- 7 (\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4} \cdot \frac{1}{4}) + C$

解题步骤 10.2.16

将 $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4 \cdot 4} + C$

解题步骤 10.2.17

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16} + C$

解题步骤 10.2.18

组合 $- 7$ 和 $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16}$ 。

$\frac{- 7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

解题步骤 10.2.19

将负号移到分数的前面。

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

解题步骤 11

使用 $4 x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2})}{16} + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$- \frac{7}{16} (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2}) + C$

微积分学 示例

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