微积分学示例

$- \int t \ln (t) d t$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (t)$ ， $d v = t$ 。

$- (\ln (t) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$- (\ln (t) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

解题步骤 2.2

组合 $\ln (t)$ 和 $\frac{t^{2}}{2}$ 。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{1}{t} d t)$

解题步骤 2.4

将 $\frac{t^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{t}$ 。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t^{2}}{2 t} d t)$

解题步骤 2.5

约去 $t^{2}$ 和 $t$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{2 t} d t)$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $2 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 2} d t)$

解题步骤 2.5.2.2

约去公因数。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 2} d t)$

解题步骤 2.5.2.3

重写表达式。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t}{2} d t)$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t d t))$

解题步骤 4

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C))$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C))$

解题步骤 5.2

将 $- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C))$ 重写为 $- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4}) + C$ 。

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4}) + C$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$- (\frac{1}{2} \ln (t) t^{2} - \frac{1}{4} t^{2}) + C$

微积分学 示例

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