微积分学示例

$\int t \sqrt{t^{2} + 1} d t$

解题步骤 1

使 $u = t^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 t d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = t d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = t^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $t^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $t^{2} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 t + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$2 t$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7

使用 $t^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

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