微积分学示例

$\int 9 x \sin (2 x) d x$

解题步骤 1

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$9 \int x \sin (2 x) d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (2 x)$ 。

$9 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$9 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 3.2

组合 $x$ 和 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 3.3

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 5.2

将 $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ 乘以 $1$ 。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 7

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 8

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

解题步骤 10

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 11

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

解题步骤 12

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解题步骤 12.1

将 $9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ 重写为 $9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ 。

$9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

解题步骤 12.2

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解题步骤 12.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$9 (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

解题步骤 12.2.2

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

解题步骤 12.2.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (u)$ 。

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

解题步骤 13

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

解题步骤 14

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解题步骤 14.1

将 $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ 中的因式重新排序。

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

解题步骤 14.2

重新排序项。

$9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x)) + C$

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