微积分学示例

$\int_{p}^{- p} \sqrt{\sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 1

将 $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$ 重写为 $\sqrt[6]{x}$ 。

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

解题步骤 2

将积分拆分为两个积分，其中 $c$ 是 $p$ 和 $- p$ 之间的某个值。

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x + \int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

解题步骤 3

根据加法法则， $\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x + \int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x$ 对 $p$ 的导数是 $\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$ 。

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

解题步骤 4

交换积分的上下界。

$\frac{d}{d p} [- \int_{c}^{p} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

解题步骤 5

使用微积分基本定理，取 $- \int_{c}^{p} \sqrt[6]{x} d x$ 对 $p$ 的导数。

$- \sqrt[6]{p} + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

解题步骤 6

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x$ 对 $p$ 的导数。

$- \sqrt[6]{p} + \frac{d}{d p} [- p] \sqrt[6]{- p}$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

因为 $- 1$ 对于 $p$ 是常数，所以 $- p$ 对 $p$ 的导数是 $- \frac{d}{d p} [p]$ 。

$- \sqrt[6]{p} - \frac{d}{d p} [p] \sqrt[6]{- p}$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sqrt[6]{p} - 1 \cdot 1 \sqrt[6]{- p}$

解题步骤 7.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \sqrt[6]{p} - \sqrt[6]{- p}$

微积分学 示例

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