微积分学示例

$\int_{x}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$

解题步骤 1

将积分拆分为两个积分，其中 $c$ 是 $x$ 和 $x^{2}$ 之间的某个值。

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

解题步骤 3

交换积分的上下界。

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

解题步骤 4

使用微积分基本定理，取 $- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t$ 对 $x$ 的导数。

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

解题步骤 5

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ 对 $x$ 的导数。

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] e^{{(x^{2})}^{7}}$

解题步骤 6

使用幂法则求微分。

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解题步骤 6.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{{(x^{2})}^{7}}$

解题步骤 6.2

将 ${(x^{2})}^{7}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{2 \cdot 7}}$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{14}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

重新排序项。

$2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$

解题步骤 7.2

将 $2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$ 中的因式重新排序。

$2 x e^{x^{14}} - e^{x^{7}}$

微积分学 示例

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