微积分学示例

$\int_{\sqrt[3]{x}}^{2 π} \cos (t^{3}) d t$

解题步骤 1

交换积分的上下界。

$\frac{d}{d x} [- \int_{2 π}^{\sqrt[3]{x}} \cos (t^{3}) d t]$

解题步骤 2

使用微积分基本定理和链式法则，取 $- \int_{2 π}^{\sqrt[3]{x}} \cos (t^{3}) d t$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

解题步骤 9.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

解题步骤 10

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3}))$

解题步骤 10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{1}{3} \cdot 3}))$

解题步骤 10.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{3}{3}}))$

解题步骤 10.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{3}{3}}))$

解题步骤 10.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{1}))$

解题步骤 10.5

化简。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x))$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 和 $\cos (x)$ 。

$- \frac{\cos (x)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

微积分学 示例

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