微积分学示例

$\int \frac{1}{\cos^{2} (3 x + 1)} d x d x$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\cos^{2} (3 x + 1)}$ 转换成 $\sec^{2} (3 x + 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x d x]$

解题步骤 2

因为 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\int \sec^{2} (3 x + 1) d x d x$ 对 $x$ 的导数是 $d \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x x]$ 。

$d \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x x]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \int \sec^{2} (3 x + 1) d x$ 且 $g (x) = x$ 。

$d (\int \sec^{2} (3 x + 1) d x \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$d (\int \sec^{2} (3 x + 1) d x \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x])$

解题步骤 4.2

将 $\int \sec^{2} (3 x + 1) d x$ 乘以 $1$ 。

$d (\int \sec^{2} (3 x + 1) d x + x \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x])$

解题步骤 5

$\int \sec^{2} (3 x + 1) d x$ 是 $\sec^{2} (3 x + 1)$ 的不定积分，因此，根据定义， $\frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x]$ 为 $\sec^{2} (3 x + 1)$ 。

$d (\int \sec^{2} (3 x + 1) d x + x \sec^{2} (3 x + 1))$

解题步骤 6

运用分配律。

$d \int \sec^{2} (3 x + 1) d x + d x \sec^{2} (3 x + 1)$

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