微积分学示例

$\int_{0}^{3 x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$

解题步骤 1

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{0}^{3 x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [3 x] \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}$

解题步骤 2.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \sqrt{1 + {(3 (x))}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

化简表达式。

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解题步骤 2.3.3.1

对 $3 (x)$ 运用乘积法则。

$3 \sqrt{1 + 3^{2} x^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \sqrt{1 + 9 x^{2}}$

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