微积分学示例

$\int \frac{7 x^{2} - 9 x + 54}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 3}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)$ 。

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.1.4

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.1.5

约去 $x^{2} + 9$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.1.5.2

用 $7 x^{2} - 9 x + 54$ 除以 $1$ 。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.1

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1.1

约去公因数。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = \frac{A ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.1.6.1.2

用 $(A) (x^{2} + 9)$ 除以 $1$ 。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = (A) (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.1.6.2

运用分配律。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.1.6.3

将 $9$ 移到 $A$ 的左侧。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.1.6.4

约去 $x^{2} + 9$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.4.1

约去公因数。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.1.6.4.2

用 $(B x + C) (x - 3)$ 除以 $1$ 。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x - 3)$

解题步骤 1.1.6.5

使用 FOIL 方法展开 $(B x + C) (x - 3)$ 。

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解题步骤 1.1.6.5.1

运用分配律。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x (x - 3) + C (x - 3)$

解题步骤 1.1.6.5.2

运用分配律。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C (x - 3)$

解题步骤 1.1.6.5.3

运用分配律。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

解题步骤 1.1.6.6

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.6.1.1

移动 $x$ 。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

解题步骤 1.1.6.6.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

解题步骤 1.1.6.6.2

将 $- 3$ 移到 $B x$ 的左侧。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 3$

解题步骤 1.1.6.6.3

将 $- 3$ 移到 $C$ 的左侧。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

解题步骤 1.1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.1.7.1

移动 $B$ 。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x - 3 C$

解题步骤 1.1.7.2

移动 $9 A$ 。

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$7 = A + B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 9 = - 3 B + C$

解题步骤 1.2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$54 = 9 A - 3 C$

解题步骤 1.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$7 = A + B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

$7 = A + B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $7 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $A + B = 7$ 。

$A + B = 7$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

解题步骤 1.3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $7 - B$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $7 - B$ 替换 $54 = 9 A - 3 C$ 中所有出现的 $A$ .

$54 = 9 (7 - B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

运用分配律。

$54 = 9 \cdot 7 + 9 (- B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

将 $9$ 乘以 $7$ 。

$54 = 63 + 9 (- B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

解题步骤 1.3.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

解题步骤 1.3.3

将 $7$ 和 $- B$ 重新排序。

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$- 9 = - 3 B + C$

解题步骤 1.3.4

在 $- 9 = - 3 B + C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

将方程重写为 $- 3 B + C = - 9$ 。

$- 3 B + C = - 9$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

解题步骤 1.3.4.2

在等式两边都加上 $3 B$ 。

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

解题步骤 1.3.5

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $- 9 + 3 B$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

使用 $- 9 + 3 B$ 替换 $54 = 63 - 9 B - 3 C$ 中所有出现的 $C$ .

$54 = 63 - 9 B - 3 (- 9 + 3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.5.2.1

化简 $63 - 9 B - 3 (- 9 + 3 B)$ 。

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解题步骤 1.3.5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.5.2.1.1.1

运用分配律。

$54 = 63 - 9 B - 3 \cdot - 9 - 3 (3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.5.2.1.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 9$ 。

$54 = 63 - 9 B + 27 - 3 (3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.5.2.1.1.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$54 = 63 - 9 B + 27 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B + 27 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.5.2.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.3.5.2.1.2.1

将 $63$ 和 $27$ 相加。

$54 = - 9 B + 90 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.5.2.1.2.2

从 $- 9 B$ 中减去 $9 B$ 。

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.6

在 $54 = - 18 B + 90$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

将方程重写为 $- 18 B + 90 = 54$ 。

$- 18 B + 90 = 54$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.6.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.6.2.1

从等式两边同时减去 $90$ 。

$- 18 B = 54 - 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.6.2.2

从 $54$ 中减去 $90$ 。

$- 18 B = - 36$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$- 18 B = - 36$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.6.3

将 $- 18 B = - 36$ 中的每一项除以 $- 18$ 并化简。

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解题步骤 1.3.6.3.1

将 $- 18 B = - 36$ 中的每一项都除以 $- 18$ 。

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.6.3.2.1

约去 $- 18$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.6.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.6.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.6.3.3.1

用 $- 36$ 除以 $- 18$ 。

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.7

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $2$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

使用 $2$ 替换 $C = - 9 + 3 B$ 中所有出现的 $B$ .

$C = - 9 + 3 (2)$

$B = 2$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.7.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.7.2.1

化简 $- 9 + 3 (2)$ 。

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解题步骤 1.3.7.2.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$C = - 9 + 6$

$B = 2$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.7.2.1.2

将 $- 9$ 和 $6$ 相加。

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

解题步骤 1.3.7.3

使用 $2$ 替换 $A = - B + 7$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - (2) + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

解题步骤 1.3.7.4

化简右边。

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解题步骤 1.3.7.4.1

化简 $- (2) + 7$ 。

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解题步骤 1.3.7.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$A = - 2 + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

解题步骤 1.3.7.4.1.2

将 $- 2$ 和 $7$ 相加。

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

解题步骤 1.3.8

列出所有解。

$A = 5, C = - 3, B = 2$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{5}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.5

将 $2$ 乘以 $x$ 。

$\int \frac{5}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{5}{x - 3} d x + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 3

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int \frac{1}{x - 3} d x + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 4

使 $u_{1} = x - 3$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{1} = x - 3$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4.1.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 6

分解分数 $\frac{2 x - 3}{x^{2} + 9}$ 成为两个分数。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{- 3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 9

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 10

使 $u_{2} = x^{2} + 9$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{2} = x^{2} + 9$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $x^{2} + 9$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

解题步骤 10.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 10.1.4

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 10.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 10.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 11.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 13.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

约去公因数。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 13.2.2

重写表达式。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 13.3

将 $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 14

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 15

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - \int \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 16

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

解题步骤 17

化简表达式。

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解题步骤 17.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 17.2

将 $x^{2}$ 和 $9$ 重新排序。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

解题步骤 17.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 18

$\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ 。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\arctan (\frac{x}{3})$ 。

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

解题步骤 19.2

化简。

$5 \ln (| u_{1} |) + \ln (| u_{2} |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

解题步骤 20

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 20.1

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| u_{2} |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

解题步骤 20.2

使用 $x^{2} + 9$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| x^{2} + 9 |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

解题步骤 21

重新排序项。

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| x^{2} + 9 |) - \arctan (\frac{1}{3} x) + C$

微积分学 示例

微积分学示例