微积分学示例

$\int \frac{300}{{(3 x + 25)}^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $300$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $300$ 移到积分外。

$300 \int \frac{1}{{(3 x + 25)}^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 x + 25$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 x + 25$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 x + 25$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x + 25]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $3 x + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$300 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$300 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

解题步骤 3.2

将 $3$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$300 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$300 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $300$ 。

$\frac{300}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5.1.2

约去 $300$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

从 $300$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 100}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 100}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 100}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{100}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5.1.2.2.4

用 $100$ 除以 $1$ 。

$100 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.2.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$100 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$100 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$100 \int u^{- 2} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$100 (- u^{- 1} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $100 (- u^{- 1} + C)$ 重写为 $100 (- \frac{1}{u}) + C$ 。

$100 (- \frac{1}{u}) + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $100$ 。

$- 100 \frac{1}{u} + C$

解题步骤 7.2.2

组合 $- 100$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{- 100}{u} + C$

解题步骤 7.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{100}{u} + C$

解题步骤 8

使用 $3 x + 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{100}{3 x + 25} + C$

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