微积分学示例

$\int \frac{1 + 10 t^{7}}{9 t} d t$

解题步骤 1

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} \int \frac{1 + 10 t^{7}}{t} d t$

解题步骤 2

将 $1$ 和 $10 t^{7}$ 重新排序。

$\frac{1}{9} \int \frac{10 t^{7} + 1}{t} d t$

解题步骤 3

用 $10 t^{7} + 1$ 除以 $t$ 。

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解题步骤 3.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

解题步骤 3.2

将被除数中的最高阶项 $10 t^{7}$ 除以除数中的最高阶项 $t$ 。

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

解题步骤 3.3

将新的商式项乘以除数。

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

解题步骤 3.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10 t^{7} + 0$ 中的所有符号

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

解题步骤 3.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

解题步骤 3.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

解题步骤 3.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{9} \int 10 t^{6} + \frac{1}{t} d t$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{9} (\int 10 t^{6} d t + \int \frac{1}{t} d t)$

解题步骤 5

由于 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} (10 \int t^{6} d t + \int \frac{1}{t} d t)$

解题步骤 6

根据幂法则， $t^{6}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{7} t^{7}$ 。

$\frac{1}{9} (10 (\frac{1}{7} t^{7} + C) + \int \frac{1}{t} d t)$

解题步骤 7

$\frac{1}{t}$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| t |)$ 。

$\frac{1}{9} (10 (\frac{1}{7} t^{7} + C) + \ln (| t |) + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $t^{7}$ 。

$\frac{1}{9} (10 (\frac{t^{7}}{7} + C) + \ln (| t |) + C)$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{1}{9} (\frac{10 t^{7}}{7} + \ln (| t |)) + C$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{1}{9} (\frac{10}{7} t^{7} + \ln (| t |)) + C$

微积分学 示例

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