微积分学示例

$\int \frac{24 x^{3} + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $24 x^{3} + 20 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

从 $24 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.1.2

从 $20 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.1.3

从 $4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

从 $3 x^{4} + 5 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

从 $3 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + 5 x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

从 $5 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5}$

解题步骤 1.1.1.2.3

从 $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

解题步骤 1.1.1.3

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

从 $4 x (6 x^{2} + 5)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

解题步骤 1.1.1.3.2

从 $x^{2} (3 x^{2} + 5)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

解题步骤 1.1.1.3.3

约去公因数。

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

解题步骤 1.1.1.3.4

重写表达式。

$\frac{4 (6 x^{2} + 5)}{x (3 x^{2} + 5)}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (3 x^{2} + 5)$ 。

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.5

约去 $3 x^{2} + 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.5.2

用 $4 (6 x^{2} + 5)$ 除以 $1$ 。

$4 (6 x^{2} + 5) = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.6

运用分配律。

$4 (6 x^{2}) + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.7

乘。

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解题步骤 1.1.7.1

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$24 x^{2} + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.7.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.8

化简每一项。

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解题步骤 1.1.8.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.8.1.1

约去公因数。

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.8.1.2

用 $A (3 x^{2} + 5)$ 除以 $1$ 。

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2} + 5) + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.8.2

运用分配律。

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2}) + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.8.3

使用乘法的交换性质重写。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.8.4

将 $5$ 移到 $A$ 的左侧。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.8.5

约去 $3 x^{2} + 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.8.5.1

约去公因数。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.1.8.5.2

用 $(B x + C) (x)$ 除以 $1$ 。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + (B x + C) (x)$

解题步骤 1.1.8.6

运用分配律。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x \cdot x + C x$

解题步骤 1.1.8.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.8.7.1

移动 $x$ 。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B (x \cdot x) + C x$

解题步骤 1.1.8.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x^{2} + C x$

解题步骤 1.1.9

化简表达式。

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解题步骤 1.1.9.1

移动 $A$ 。

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

解题步骤 1.1.9.2

将 $B$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

解题步骤 1.1.9.3

移动 $5 A$ 。

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + B x^{2} + C x + 5 A$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$24 = 3 A + B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 1.2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$20 = 5 A$

解题步骤 1.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$20 = 5 A$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将方程重写为 $5 A = 20$ 。

$5 A = 20$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

解题步骤 1.3.2.2

将 $5 A = 20$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 1.3.2.2.1

将 $5 A = 20$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

解题步骤 1.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

解题步骤 1.3.2.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

解题步骤 1.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.3.1

用 $20$ 除以 $5$ 。

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

解题步骤 1.3.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $4$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $4$ 替换 $24 = 3 A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$24 = 3 (4) + B$

$A = 4$

$C = 0$

解题步骤 1.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4

在 $24 = 12 + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

将方程重写为 $12 + B = 24$ 。

$12 + B = 24$

$A = 4$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

从等式两边同时减去 $12$ 。

$B = 24 - 12$

$A = 4$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4.2.2

从 $24$ 中减去 $12$ 。

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

解题步骤 1.3.5

求解方程组。

$B = 12 A = 4 C = 0$

解题步骤 1.3.6

列出所有解。

$B = 12, A = 4, C = 0$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{4}{x} + \frac{12 x + 0}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

去掉圆括号。

$\frac{4}{x} + \frac{(12) \cdot x + 0}{3 x^{2} + 5}$

解题步骤 1.5.2

将 $12 x$ 和 $0$ 相加。

$\int \frac{4}{x} + \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{4}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$4 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

解题步骤 5

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{x}{3 x^{2} + 5} d x$

解题步骤 6

使 $u = 3 x^{2} + 5$ 。然后使 $d u = 6 x d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = 3 x^{2} + 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $3 x^{2} + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $3 x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 6.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 6.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 6.1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 6.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 x + 0$

解题步骤 6.1.4.2

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$6 x$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

解题步骤 7.2

将 $6$ 移到 $u$ 的左侧。

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{6 u} d u$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $12$ 。

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{12}{6} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9.2

约去 $12$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9.2.2.2

约去公因数。

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9.2.2.3

重写表达式。

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 10

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 11

化简。

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

解题步骤 12

使用 $3 x^{2} + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| 3 x^{2} + 5 |) + C$

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